Статья.

 

Статья будет интересна моим коллегам учителям математики, а также всем учителям и учащимся, заинтересованным в лучшем преподавании и освоении информатики.

 

Обязательным предметом в советских школах информатика стала 1 сентября 1985 года (предмет носил название «Основы информатики и вычислительной техники»).

На уроках изучались элементы математической логики, возможности и применение ЭВМ, устройство ЭВМ, основы алгоритмизации, построение блок-схем, основы программирования.

Сегодня одной из главных целей обучения информатике является подготовка учащихся к повседневной жизни, формирование информационной грамотности, информационной культуры. Развивающие же цели реализуются посредством решения задач. Можно утверждать, что IT-компетенции являются обязательной составляющей в современном образовании, они необходимы для специалиста любой профессиональной сферы. И, чем больше IT-сфера проникает в различные области жизнедеятельности человека, тем больше учащихся проявляют интерес к предмету.

Пользовательские навыки и общие компьютерные компетенции, приобретаемые детьми в школе, требуют минимальной математической грамотности. Но, без математики не обойтись при изучении измерения информации, двоичного кодирования, систем счисления, логических функций. При изучении алгоритмизации и программирования зачастую используются математико-ориентированные задачи, математика выступает и как средство решения задач, и в качестве объекта исследования и предмета анализа.

Поскольку наша система образования не проводит ежегодного внешнего мониторинга по информатике, такого как ВПР, РДР – попробуем рассмотреть ГИА в качестве основного ориентира для оценивания успешности прохождения курса информатики учащимися, тем более, что ребята сдают ОГЭ и ЕГЭ по собственному выбору, а значит заинтересованы в предмете.

По факту, преподавание этого молодого предмета сильно отличается в разных школах. Информатику ведут и в начальной школе, и с 5 класса, а в иных в школах ее практически нет, только в 8-9 классах. Поэтому к концу 11 класса ученики обладают самыми разными навыками и умениями. Общеобразовательные программы по обязательным ЕГЭ-предметам - математике и русскому языку - содержат в себе достаточную базу для сдачи ЕГЭ. Чего не скажешь об информатике.

Школьные программы зачастую «не закрывают» все вопросы, которые присутствуют на ЕГЭ. Большинство программ 7-9 классов в достаточной мере позволяют учащимся успешно сдавать ОГЭ, содержание КИМов не сильно отличается от содержания курса. Однако, в ряде программ 10-11 класса, встречается очень много тем, полезных для общего развития, но не требуемых для сдачи Единого государственного экзамена. Школьная программа, какие бы хорошие базовые знания она не обеспечивала, для высоких результатов ЕГЭ, как правило, недостаточна.

На ЕГЭ важна математика, логика, составление алгоритмов, программирование, и в этом у ребят может не хватать навыков.

Если дети, которые не выбирают информатику и не связывают свою дальнейшую профессиональную реализацию с IT-сферой, получают в школе достаточные базовые предметные познания и набор актуальных пользовательских навыков, то ребята, ориентирующиеся на специальности в IT-сфере, приобретают ошибочное представление о собственном якобы высоком уровне подготовки.

На уроках информатики учителю необходимо создать учебную среду, адаптивную и для первой, и для второй групп учащихся. Как решение задач повышенной сложности будет затруднительно для ребят базового уровня освоения, так и прямое натаскивание на задачи ЕГЭ окажется губительным для будущих IT-специалистов, сужая круг решаемых задач и ограничивая творческий, целостный подход и умение анализировать каждую задачу как новую. Полагаю, что математическая грамотность способна перекинуть тот самый мостик между обеими группами и обеспечить успешность освоения курса информатики в целом.

 

Рассмотрим темы и конкретные примеры решения задач курса информатики в 7-11 классах .

Измерение информации.

 

Уметь оценивать количественные характеристики данных, знать и использовать единицы измерения информации – обязательный навык, который становится сегодня неотъемлемой составляющей общей культуры каждого человека. Понимание причин, по которым в одном килобайте 1024 байта, можно хорошо «уложить» на понятие о степени с натуральным показателем.

И это только первый шаг. Как только детям предлагается решить задачи на количество информации и скорость передачи данных, на уроках не обойтись без свойств степеней.

Если дети в 7-ом классе будут использовать свойства степени с натуральным показателем, то в более старших классах, а также при прохождении ГИА, задания на вычисление количества информации будут решаться без громоздких вычислений и с меньшей вероятностью арифметической ошибки.

Например:

·       Задание № 9759

Какой минимальный объём памяти (в Кбайт) нужно зарезервировать, чтобы можно было сохранить любое растровое изображение размером 128×128 пикселей при условии, что в изображении могут использоваться 256 различных цветов? В ответе запишите только целое число, единицу измерения писать не нужно.

Решение.

Один пиксель кодируется 8 битами памяти, так как 2⁸ = 256.

Всего 128 * 128 = 2⁷ · 2⁷ = 2¹⁴ пикселей.

Тогда объем памяти, занимаемый изображением 2¹⁴ * 8 = 2¹⁷ бит = 2¹⁴ байт = 2⁴ Кбайт = 16 Кбайт.

 

Ответ: 16.

 

·       Задание № 2404

Скорость передачи данных через ADSL─соединение равна 512 000 бит/c. Передача файла через это соединение заняла 1 минуту. Определить размер файла в килобайтах.

Решение.

Заметим, что 1 мин = 60 с = 4 · 15 с = 2² · 15 с. Переведём бит/с в Кбит/с:

 

512000 бит/c = 512 · 1000 бит/с = 2⁹ · 125 · 8 бит/с = 2⁹·5³·2³ бит/с = 2⁹·5³ байт/с =

 

= 2⁹·5³/2¹⁰ Кбайт/с = 5³/2 Кбайт/с.

 

 Чтобы найти объем файла, нужно умножить время передачи на скорость передачи:

 

2² 15 · 5³/2 = 3750 Кбайт.

 

Ответ: 3750.

 

Задачи на скорость передачи данных уровня седьмого класса апеллируют только к базовой формуле  .

 

Эти задачи решаются учениками ровно в соответствии с их уровнем математических навыков. Умение работать с формулой и представлять её как  или , умение составить и решить пропорцию, если требуется сравнить два канала связи, а также понимание перехода от одних единиц измерения к другим (биты – байты – килобайты, секунды - минуты) показывают, что успешно и легко оказывается только математически грамотным детям, которые вовремя освоили перевод метров в километры, граммов в килограммы и т.п., остальные же получают негативный опыт и теряют интерес к предмету.

 

Системы счисления

 

Как для понимания недесятичных позиционных систем счисления, так и для перевода чисел из одной системы счисления в другую, нужна развёрнутая форма записи числа, и нам снова понадобятся степени.

Например,

2837 = 2*1000+8*100+3*10+7*1 = 2*10³+8*10²+3*10¹+7*10⁰

1101₂ = 1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰

С 10-го класса используются примеры с отрицательным показателем степени:

620,3₈ = 6*8²+2*8¹+0*8⁰+3*8^-1

 

Слабым местом здесь может оказаться понимание числа, возведённого в нулевую или в отрицательную степень.

Алгоритмы перевода чисел также предполагают навыки деления в столбик и нахождения остатка от деления, например,

 

 

·       Задание «Прямое сложение в системах счисления» № 29123

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения 8⁵ + 4⁶ + 2¹² − 16?

Решение.

Последовательно будем преобразовывать данное выражение:

Внимательные ученики выполнят следующие преобразования:

= 2¹⁵ + 2 (2¹² + 2¹²) -2⁴ = 2¹⁵ + 2¹³ – 2⁴ = 2⁴ (2¹¹ + 2⁹ - 1) и сделают вывод, что после перевода в двоичную систему счисления множитель за скобкой не повлияет на ответ, а с выражением в скобках уже легко справятся.  100000000000 + 1000000000 = 101000000000,

                                   101000000000 – 1 = 100111111111

Ответ: 10.

 

Элементы алгебры логики

В школьном разделе изучения алгебры логики тема накладывается на теорию множеств, на математику в принципе. Сами по себе основные логические операции в информатике называют «логическое сложение», «логическое умножение». Как и в математике, в информатике применяют законы приоритета операций: скобки, умножение, сложение, а также переместительный, сочетательный, распределительный и другие законы. Особенно любопытно в алгебре логики реализуются законы повторения, поглощения, операции с нулём. Эти области тесно перекликаются на всех уровнях изучения, например,

·       Расставить порядок действий:

·       Задание «Преобразование логических выражений» № 4803

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

 1) [0, 3],             2) [3, 11],            3) [11, 15],          4) [15, 17]

Решение.           ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) = 1 

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражение (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) истинно на отрезке [2; 14]. Поскольку все выражение должно быть истинно для любого x, выражение ¬(x ∈ A) должно быть истинно на множестве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким образом, выражение (x ∈ A) должно быть истинно только внутри отрезка [2;14].

Из всех отрезков только отрезок [3; 11] полностью лежит внутри отрезка [2; 14].

Ответ: 2.

В последней задаче, как и в других заданиях 15 ЕГЭ, в качестве предмета логических высказываний используются различные математические понятия. Для решения таких задач ученикам необходимо постоянно быть педантичным, внимательно следить за областью допустимых значений, находить корни, не терять минус, то есть применять навыки решения чисто математических задач.

 

Кодирование

Действительно, в ранее рассмотренных задачах используются только степени двойки, рассмотрим комбинаторные задачи:

·       Задание № 6264

Световое табло состоит из четырёх светящихся элементов, каждый из которых может светиться одним из трёх различных цветов. Каждая комбинация из четырёх цветов кодирует определённый сигнал. Сколько различных сигналов можно передать при помощи табло при условии, что все элементы должны светиться?

Решение.

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = M^N. Из условия следует, что N = 4, M = 3. Следовательно, Q = 3⁴ = 81.

 Ответ: 81.

А также, в других задачах на кодирование используются комбинаторные понятия и формулы: используется правило умножения, формулы перестановки, сочетания и размещения.

·       Задание #T9291

Для передачи сообщений используются 5-буквенные коды. В кодах разрешается использовать только буквы Я, Н, Д, Е, К, С, при этом код не может начинаться с согласной и содержит ровно две гласные буквы.

Каждая из допустимых букв может повторяться в коде несколько раз или не встречаться вовсе. Сколько различных кодов удовлетворяют указанным условиям?

Решение. Код не может начинаться на согласную букву, он начинается с гласной. Таким образом, имеется два варианта с какой буквы начинается код.

Вторая гласная буква может стоять на любой из оставшихся четырёх позиций, Ограничения на повторы букв в условии задачи отсутствуют, следовательно, по-прежнему допустима любая из двух гласных букв.

Оставшиеся три позиции занимают согласные буквы в любых комбинациях. Всего в кодах допустимы 4 согласные буквы, поэтому количество комбинаций равно 4³.

Используя правило произведения комбинаторики, получим искомое количество кодовых слов: 2 * 2 * 4 * 4³ = 1024.

Ответ: 1024.

В задачах такого рода учащиеся анализируют, сколькими способами возможно задать тот или иной символ последовательности. Если повторения не разрешены, используют факториал.

 

Как видно, при решении задач курса информатики большинство навыков работы со степенями сводится к степени двойки. Эти навыки позволят:

·       понимать основы двоичного кодирования, подходы к измерению информации.

·       быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, и обратно.

·       решать задачи на кодирование и декодирование информации.

В задачах вычислительного типа учащиеся пользуются своими математическими навыками регулярно. Работа с дробями, преобразования, сокращения. Требуется уметь использовать формулы сокращённого умножения, решать линейные и квадратные уравнения.

Алгоритмизация и программирование.

Алгоритмические задачи – существенная область изучения информатики в школе, математика здесь применяется чаще как предмет алгоритмизации, чем как средство решения задач.

Именно те или иные математические задачи школьники решают с помощью программирования. Это могут быть алгоритмы нахождения НОД и НОК, нахождение корней квадратного уравнения, построение графиков уравнений и функций, построение векторов, анализ функций и многие другие. Необходима грамотность в области тригонометрии.

Рассмотрим примеры.

Дети в восьмом классе учатся писать программу нахождения корней квадратного уравнения на языках программирования, на уроке им необходимо заниматься реализацией алгоритмических конструкций в среде программирования, изучать синтаксис. К этому моменту они, как правило, щёлкают квадратные уравнения, как орешки, а если это не так – получаются неэффективные уроки по программированию.

 

В старших классах также даются задачи на проверку принадлежности точки на плоскости той или иной области, пишутся программы такого рода:

·       Задание № 2801

Написать программу, которая вводит с клавиатуры координаты точки на плоскости (Х, У — действительные числа) и определяет принадлежность точки заштрихованной области.

 

Написание алгоритма сводится к корректному заданию условия:

if (x*x + y*y >= 4) and (x >= –2) and (y <= –x) and (y >= 0) then

write('принадлежит')

else

write('не принадлежит')

 

Здесь требуется математическая грамотность в области решения систем неравенств графическим и аналитическим способами. Разумеется, понимание, как строится прямая, окружность и другие графики.

Наибольшие затруднения именно по причине пробелов в знаниях по математике у старшеклассников вызывают задачи на анализ функций, например,

·        Задание #T29765 Какое число будет напечатано в результате работы следующей программы?

 

Здесь учащиеся чертят соответствующие функции на плоскости в указанных промежутках. Именно при помощи грамотного построения решение задач не представляет затруднений, а здесь необходимо знать сдвиг параболы вдоль осей в зависимости от m и n, если квадратичную функцию записать в виде f(x) = a(x - m)² + n. Легко тем учащимся, которые умеют аналитически находить минимум/максимум функции, хорошо представляют поведение основных графиков функций: линейной, квадратичной, экспоненциальной, показательной, они могут быть заданы на промежутках и/или содержать модули.

 

 

Вывод: В приведённых мной материалах выявлены сильные и слабые стороны «математической» поддержки информатики. Без математики предмет не может быть освоен в полной мере, и этот факт можно рассмотреть и как недостаток, и как преимущество, толчок к познанию.

Математика находит практическое применение в решении задач по информатике. И - математика выступает инструментом, обеспечивающим решение задач. Можно наблюдать и обратный эффект: оттачиваются навыки в области математики, происходит закрепление, лучшее понимание некоторых тем. А мы знаем, что глубокое понимание и закрепление навыков приходит именно в процессе применения теоретических знаний на практике.

 

Само программирование довольно-таки похоже на методичное решение математической задачи, где вам нужно постоянно быть аккуратным, педантичным, следить за областью допустимых значений, не терять корни, не терять минус и тому подобное. Хороший программист способен без исполнения кода читать и понимать, чем занимается программа, видеть ошибки. Можно сказать, что кроме hard skills эти дружественные предметы развивают soft skills, такие как саморегулирование и исследовательско-управленческие навыки.

 

Преподавание информатики в школе должно быть сориентировано на развитие познавательной активности учащихся и их творческого потенциала, направлено на формирование гибкости и критичности мышления.